Question

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

Answer

（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；
（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．
【解析】
设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：

Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1

（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：
①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为

X 1 2
P 0.5 0.49 0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．