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已知函数manfen5.com 满分网为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=xf'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2
(Ⅰ)由题意,求出函数的导数,再由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行可得出f′(1)=0,由此方程即可解出k的值; (II)由(I)知,=,x∈(0,+∞),利用导数解出函数的单调区间即可; (III)先给出g(x)=xf'(x),考查解析式发现当x≥1时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e-2一定成立,由此将问题转化为证明g(x)<1+e-2在0<x<1时成立,利用导数求出函数在(0,1)上的最值,与1+e-2比较即可得出要证的结论. 【解析】 (I)函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数), ∴=,x∈(0,+∞), 由已知,,∴k=1. (II)由(I)知,=,x∈(0,+∞), 设h(x)=1-xlnx-x,x∈(0,+∞),h'(x)=-(lnx+2), 当x∈(0,e-2)时,h'(x)>0,当x∈( e-2,1)时,h'(x)<0, 可得h(x)在x∈(0,e-2)时是增函数,在x∈( e-2,1)时是减函数,在(1,+∞)上是减函数, 又h(1)=0,h(e-2)>0,又x趋向于0时,h(x)的函数值趋向于1 ∴当0<x<1时,h(x)>0,从而f'(x)>0, 当x>1时h(x)<0,从而f'(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). (III)由(II)可知,当x≥1时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e-2,故只需证明g(x)<1+e-2在0<x<1时成立. 当0<x<1时,ex>1,且g(x)>0,∴. 设F(x)=1-xlnx-x,x∈(0,1),则F'(x)=-(lnx+2), 当x∈(0,e-2)时,F'(x)>0,当x∈( e-2,1)时,F'(x)<0, 所以当x=e-2时,F(x)取得最大值F(e-2)=1+e-2. 所以g(x)<F(x)≤1+e-2. 综上,对任意x>0,g(x)<1+e-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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