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如图,椭圆的离心率为,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8. (...

如图,椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求manfen5.com 满分网的最大值及取得最大值时m的值.

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(Ⅰ)通过椭圆的离心率,矩形的面积公式,直接求出a,b,然后求椭圆M的标准方程; (Ⅱ) 通过,利用韦达定理求出|PQ|的表达式,通过判别式推出的m的范围,①当时,求出取得最大值.利用由对称性,推出,取得最大值.③当-1≤m≤1时,取得最大值.求的最大值及取得最大值时m的值. 【解析】 (I)…① 矩形ABCD面积为8,即2a•2b=8…② 由①②解得:a=2,b=1, ∴椭圆M的标准方程是. (II), 由△=64m2-20(4m2-4)>0得. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则, . 当l过A点时,m=1,当l过C点时,m=-1. ①当时,有,, 其中t=m+3,由此知当,即时,取得最大值. ②由对称性,可知若,则当时,取得最大值. ③当-1≤m≤1时,,, 由此知,当m=0时,取得最大值. 综上可知,当或m=0时,取得最大值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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