Question

设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}．
（Ⅰ）求数列{x_n}．
（Ⅱ）设{x_n}的前n项和为S_n，求sinS_n．

Answer

（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；令f′（x）＜0，确定函数的单调减区间，从而可得f（x）的极小值点，由此可得数列{xn}；
（Ⅱ）Sn=x1+x2+…+xn=2π（1+2+…+n）-=n（n+1）π-，再分类讨论，求sinSn．
【解析】
（Ⅰ）求导函数可得，令f′（x）=0，可得
令f′（x）＞0，可得；
令f′（x）＜0，可得
∴时，f（x）取得极小值
∴xn=
（Ⅱ）Sn=x1+x2+…+xn=2π（1+2+…+n）-=n（n+1）π-
∴当n=3k（k∈N*）时，sinSn=sin（-2kπ）=0；
当n=3k-1（k∈N*）时，sinSn=sin=；
当n=3k-2（k∈N*）时，sinSn=sin=-．