Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=l时，f（x）=|x|+2|x-1|=，分三种情况求出不等式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化简函数f（x）=|x|+2|x-a|的解析式，求出它的最小值，由题意可得f（x）的最小值a大于或等于4，由此求得a取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=l时，f（x）=|x|+2|x-1|=．…（2分）
当x＜0时，由2-3x≤4，得-≤x＜0；
当0≤x≤1时，1≤2-x≤2，解得 0≤x≤1；
当x＞1时，由3x-2≤4，得1＜x≤2．
综上，不等式f（x）≤4的解集为[-，2]．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=|x|+2|x-a|=．…（7分）
可见，f（x）在（-∞，a]单调递减，在（a，+∞）单调递增．
当x=a时，f（x）取最小值a．
若f（x）≥4恒成立，则应有a≥4，
所以，a取值范围为[4，+∞）．…（10分）