Question

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C₁的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ，P是C₁上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C₂．
（I）求曲线C₂的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C₂有且只有一个公共点，求φ的值．

Answer

（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ，θ）、（ρ，θ），则极坐标方程，ρ=ρ=•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程．
（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得出（tcosφ+1）2+（tsinφ-1）2=2，即t2+2（cosφ-sinφ）t=0，φ的值应使得关于t的方程有两相等实根．
【解析】
（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ，θ）、（ρ，θ），则
ρ=ρ=•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），…（3分）
两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x-1）2+（y-1）2=2．…（5分）
（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得
（tcosφ+1）2+（tsinφ-1）2=2，即t2+2（cosφ-sinφ）t=0，…（7分）
t1=0，t2=sinφ-cosφ，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ-cosφ=0，
因为0≤φ＜π，所以φ=．…（10分）