Question

设a＞0，函数．
（1）求证：关于x的方程没有实数根；
（2）求函数的单调区间；
（3）设数列{x_n}满足，当a=2且，证明：对任意m∈N^*都有．

Answer

（1）已知方程，可得，通分化简得到一元二次方程，用△来进行判断，方程有无解；
（2）已知g（x）的解析式，根据求导法则求出g′（x），令g′（x）=0，先求出其极值点再研究其单调性，含有参量a，需要分类讨论；
（3）已知数列{xn}满足，将xm+k-xk=（xm+k-xm+k-1）+（xm+k-1-xm+k-2）+（xm+k-2-xm+k-3）…+（xk+1-xk），然后再进行放缩，求证；
【解析】
（1）∵方程，∴，
∴x2-x+a+1=0，∵a＞0，∴△=1-4（a+1）=-4a-3＜0
方程没有实数根；
（2）∵函数，
∴g′（x）=ax2+2x+a，令g′（x）=ax2+2x+a=0，则△=4-4a2，
①当△=4-4a2，＜0，即a＞1，对任意实数g′（x）＞0，
∴g（x）在R上单调递增
②当△=4-4a2，=0，即a=1，g′（1）=0，但g′（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上单调递增
③当△=4-4a2，＞0，即0＜a＜1，对任意实数由g′（x）＞0，ax2+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上单调递减，
g（x）在（-∞，），（，+∞）上单调递增
（3）当a=2时，由x1=0，得  x2=f（x1）=f（0）=，|x1-x2|=，
|x1-x2|=||=×|x22-x12|＜×|x2-x1||x2+x1|=××|x2-x1|=
当k≥2时，∵0＜xk≤
∴|xk+1-xk|=||=×|xk2-xk-12|×|xk-xk-1||xk+xk-1|＜×|xk-xk-1|
＜×|xk-1-xk-2|＜…＜×|x3-x2|＜
对任意m∈N+，
|xm+k-xk|=|（xm+k-xm+k-1）+（xm+k-1-xm+k-2）+（xm+k-2-xm+k-3）…+（xk+1-xk）|≤|（xm+k-xm+k-1）|+|（xm+k-1-xm+k-2）|+••+|（xk+1-xk）|
≤（++…++1）|xk+1-xk|=|xk+1-xk|=•=，
即证；