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设a>0,函数. (1)求证:关于x的方程没有实数根; (2)求函数的单调区间;...

设a>0,函数manfen5.com 满分网
(1)求证:关于x的方程manfen5.com 满分网没有实数根;
(2)求函数manfen5.com 满分网的单调区间;
(3)设数列{xn}满足manfen5.com 满分网,当a=2且manfen5.com 满分网,证明:对任意m∈N*都有manfen5.com 满分网
(1)已知方程,可得,通分化简得到一元二次方程,用△来进行判断,方程有无解; (2)已知g(x)的解析式,根据求导法则求出g′(x),令g′(x)=0,先求出其极值点再研究其单调性,含有参量a,需要分类讨论; (3)已知数列{xn}满足,将xm+k-xk=(xm+k-xm+k-1)+(xm+k-1-xm+k-2)+(xm+k-2-xm+k-3)…+(xk+1-xk),然后再进行放缩,求证; 【解析】 (1)∵方程,∴, ∴x2-x+a+1=0,∵a>0,∴△=1-4(a+1)=-4a-3<0 方程没有实数根; (2)∵函数, ∴g′(x)=ax2+2x+a,令g′(x)=ax2+2x+a=0,则△=4-4a2, ①当△=4-4a2,<0,即a>1,对任意实数g′(x)>0, ∴g(x)在R上单调递增 ②当△=4-4a2,=0,即a=1,g′(1)=0,但g′(x)>0,(x≠1), ∴g(x)在R上单调递增 ③当△=4-4a2,>0,即0<a<1,对任意实数由g′(x)>0,ax2+2x+a>0,得x或x>, ∴g(x)在()上单调递减, g(x)在(-∞,),(,+∞)上单调递增 (3)当a=2时,由x1=0,得  x2=f(x1)=f(0)=,|x1-x2|=, |x1-x2|=||=×|x22-x12|<×|x2-x1||x2+x1|=××|x2-x1|= 当k≥2时,∵0<xk≤ ∴|xk+1-xk|=||=×|xk2-xk-12|×|xk-xk-1||xk+xk-1|<×|xk-xk-1| <×|xk-1-xk-2|<…<×|x3-x2|< 对任意m∈N+, |xm+k-xk|=|(xm+k-xm+k-1)+(xm+k-1-xm+k-2)+(xm+k-2-xm+k-3)…+(xk+1-xk)|≤|(xm+k-xm+k-1)|+|(xm+k-1-xm+k-2)|+••+|(xk+1-xk)| ≤(++…++1)|xk+1-xk|=|xk+1-xk|=•=, 即证;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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