Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA₁，AB的中点．
①求证：B₁C₁∥平面EFG；
②求FG与AC₁所成的角；
③求三棱锥B₁--EFG的体积．

Answer

①欲证B1C1∥平面EFG，只需在平面EFG内找一直线与B1C1平行，E，F为△AB，AC中点，则GE∥BC，从而B1C1∥GE，而GE⊂平面GEF，B1C1⊄平面GEF，满足线面平行的判定定理所需条件；
②取A1C1的中点M，连接MF，GM，根据中位线可知AC1∥MF，则∠MFG为FG与AC1所成的角，然后在三角形MGF中求出此角即可；
③C1与B1到平面EFG的距离相等则，然后根据GE⊥平面C1EF可知GE为高，最后根据锥体的体积公式解之即可．
【解析】
①E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B1C1∥BC，∴B1C1∥GE，
∵GE⊂平面GEF，B1C1⊄平面GEF，
∴B1C1∥平面EFG  
②取A1C1的中点M，连接MF，GM，
根据中位线可知AC1∥MF
∴∠MFG为FG与AC1所成的角
∵MF=，GF=，MG=
∴∠MFG=90°
∴FG与AC1所成的角为90°．
③∵B1C1∥平面EFG，∴C1与B1到平面EFG的距离相等．  
∴
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C1，A1C1∩C1C=C1
∴B1C1⊥平面C1CA1
∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF
∵，
∴