(1)要证明数列{bn}是等差数列,只需证明它的后一项与前一项的差为非零常数即可,先根据数列{an}的递推公式推出数列{bn}的递推公式,即可证明.
(2)由(1)可得数列{bn}的通项公式,再由,可得数列{an}的通项公式,判断数列{an}对应连续函数得单调性,得到数列的单调性,进而可得数列的最值;
(3)先用数学归纳法证明1<an<2,注意递推式的使用,再证明数列是递减数列,利用an+1-an<0,不等式可证.
【解析】
(1),而,
∴.(n∈N+)
∴{bn}是首项为,公差为1的等差数列.
(2)依题意有,而,
∴.对于函数,
在x>3.5时,y>0,,
在(3.5,+∞)上为减函数.且y>0,故当n=4时,取最大值3.
而函数在x<3.5时,y<0,,
在(-∞,3.5)上也为减函数.且y<0,故当n=3时,取最小值,a3=-1.
∴数列{an}中的最大项是a4=3;最小项是a3=-1
(3)先用数学归纳法证明1<an<2,再证明an+1<an.①当n=1时,1<a1<2成立;
②假设当n=k时命题成立,即1<ak<2,
当n=k+1时,⇒1<ak+1<2故当n=k+1时也成立,
综合①②有,命题对任意n∈N+时成立,即1<an<2.
(也可设(1≤x≤2),则,
故1=f(1)).
进而证明an+1<an
∵
∴an+1<an