在xOy平面上有一系列的点P
1(x
1,y
1),P
2(x
2,y
2),…,P
n(x
n,y
n)…对于正整数n,点P
n位于函数y=x
2(x≥0)的图象上,以点P
n为圆心的⊙P
n与x轴相切,且⊙P
n与⊙P
n+1又彼此外切,若x
1=1,且x
n+1<x
n.
(1)求证:数列
是等差数列;
(2)设⊙P
n的面积为S
n,
,求证:
.
考点分析:
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根据定义在集合A上的函数y=f(x),构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据x
∈A,计算出x
1=f(x
);
②若x
∉A,则数列发生器结束工作;
若x
∈A,则输出x
1,并将x
1反馈回输入端,再计算出x
2=f(x
1).并依此规律继续下去.
现在有A={x|0<x<1},
(m∈N
*).
(1)求证:对任意x
∈A,此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x
n};
(2)若
,记
(n∈N
*),求数列{a
n}的通项公式;
(3)在得条件下,证明
(m∈N
*).
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2成正比;②当
时,
;③
,其中a为常数,且a∈[0,2]
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(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.
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