Question

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x₁=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N^*）．

Answer

（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故对任意x∈A，有x1=f（x）∈A，由 x1∈A 有x2=f（x1）∈A，以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列；
（2）易证{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，从而求出，从而求出an=+1；
（3）要证，即证，只需证，当m∈N*时，利用二项式定理以及放缩法证明不等式即可．
【解析】
（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N*，可知m+1-x＞0，
∴
又
∴
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故对任意x∈A，有x1=f（x）∈A，
 由 x1∈A 有x2=f（x1）∈A，
  x2∈A 有x3=f（x2）∈A；
以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列
（2）由xn+1=f（xn）=，可得，
∴，
即．
令bn=an-1，则，
又，
所以{bn}是以为首项，以为公比的等比数列．
，即an=+1      
（3）要证，即证，只需证，
当m∈N*时，
有=++…+≥2，
因为，当k≥2 时，
由．
所以，当m≥2时=++…+，
＜1+1+（1-）+（-）+…（-）=3-＜3
又当m=1时，，
所以对于任意m∈N*，都有
所以对于任意m∈N*，都有证．