Question

已知曲线C：y=x²（x＞0），过C上的点A₁（1，1）作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁，再过B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂，再过A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂，再过B₂作y轴的平行线交曲线C于点A&₃，…，依次作下去，记点A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=（8-2n）a_n，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：0＜T_n≤4．

Answer

（I）由y'=2x（x＞0）．知切线ln的方程为y-an2=2an（x-an）．所以．依题意点An+1在直线上，所以数列{an}是1为首项，为公比的等比数列．由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，知．由错位相减法能导出，n≥2时，．由n≥2时，Tn≤Tn-1，知Tn≤Tn-1≤…≤T2，由此能够证明0＜Tn≤4．
解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲线C在点An（an，an2）处的切线ln的斜率为kn=2an．
∴切线ln的方程为y-an2=2an（x-an）．（2分）
令y=0得   ，
∴．
依题意点An+1在直线上，
∴又a1=1．（4分）
∴数列{an}是1为首项，为公比的等比数列．
∴．（5分）
（Ⅱ）由已知．
∴．①．②
①-②得==．（9分）
∴（10分）
又n≥2时，．
又当n≥2时，Tn≤Tn-1．
∴Tn≤Tn-1≤…≤T2．
∴当n=2时，T1=T2=4．
∴（Tn）max=T2=4，∴Tn≤4．（13分）
综上0＜Tn≤4．（14分）