Question

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）求证：m²+n²=0是f（x）是奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若常数n=-4且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先证明充分性，即m2+n2=0⇒f（x）是奇函数，再证明必要性，即f（x）是奇函数⇒m2+n2=0，可用其对称性，由特殊值代入法进行证明
（Ⅱ）解决不等式恒成立问题的常用方法是参变分离求最值，先讨论x=0的情况，在x≠0的条件下实现参变分离，分别求最值即可
解（I）充分性：若m2+n2=0，则m=n=0，∴f（x）=x|x|，
又有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，∵x∈R，
∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|
由f（1）=-f（-1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0．
∴f（x）为奇函数，则m=n=0，即m2+n2=0．
∴m2+n2=0是f（x）为奇函数的充要条件．
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为．即．
∴只需对x∈（0，1]，满足
对①式在（0，1]上单调递减．
∴m＜f1（1）=3．③
对②式，设，根据单调函数的定义可证明f2（x）在（0，1]上单调递增，
∴f2（x）max=f（1）．
∴m＞f2（1）=-5．④
由③④知-5＜m＜3．