Question

抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线交抛物线于A、B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于点N（x，0），求证：x＞；
（3）若直线l的斜率依次取时，线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点依次是N₁，N₂，…，N_n，求．

Answer

（1）先求出抛物线的准线方程得到点M的坐标，再设直线方程与抛物线联立结合违达定理即可求出线段AB中点的轨迹方程；（注意范围的限制）
（2）先求出线段AB的垂直平分线方程，进而得到点N的坐标，根据实数k的范围限制即可证明结论；
（3）先求出数列的通项，发现其是以首项，以为公比的等比数列，再代入等比数列的求和公式即可．
【解析】
（1）抛物线的准线方程为x=-p，
∴M（-p，0），
设l方程为y=k（x+p）（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P（x，y）得x1+x2=2x，y1+y2=2y，A，B在y2=4px上得：y12=4px1，
y22=4px2，显然AB斜率k存在，两式相减得：k===，
又A，B，M，P共线得其斜率也可表示为k==，
即得y2=2px+2p2，（p＞0，x＞0），即为AB中点P轨迹方程．
（2）证明：线段AB的垂直平分线方程为，令y=0，
N （x，0）的横标．
（3）当直线l的斜率时，

=
=为首项，以为公比的等比数列，
∴==（1-）．