Question

已知偶函数f （x），对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，求
（1）f （0）的值；
（2）f （x）的表达式；
（3）令，求F（x）在（0，+∞）上的最值．

Answer

（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=-1；同样x1=0，x2=1得：f（1）=0；令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先由f（x）的解析式，再利用配方法结合指数函数的单调性即可得到F（x）在（0，+∞）上的最值．
【解析】
（1）令x1=x2=0，则有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1
（2）令x1=x，x2=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x2+1=-1
又∵f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x2-1
（3）∵f（x）=x2-1，
∴，
∵（x2-2）2-1≥-1，
∴当a＞1时，F （x）的最小值为，最大值不存在
当0＜a＜1时，F （x）的最大值为，最小值不存在