Question

体积为288π的球内有一个内接正三棱锥P-ABC，球心恰好在底面正△ABC内，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程为    ．

Answer

由题意，如图，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程是经过A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四点间的球面距离的和即得所求答案，由图及题意可知球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°，由球体积是288π计算出球的半径，再由弧长公式求出四段弧长，即可求得答案
【解析】
由题意，可做出此球的内接正三棱锥，如图O是球心OA=OB=OC=OP=r
由图，动点P点出发沿球面运动，经过A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四点间的球面距离的和即为所经过的最短路程
由题意，球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°
又球的体积是288π，即有=288π，解得r=6
经过的最短路程是（+++）×6=14π
故答案为14π