Question

如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer

（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则c2=a2+b2，由此能求出双曲线方程．（2）F（-2，0），设A（x1，y2），B（x2，y2），m：y=k（x+2），由，得x2=λ（x1+2）-2，y2=λy1，由，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．由此能求出直线m的斜率k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
则c2=a2+b2，，∴b2=c．------------------------（2分）
又在双曲线上，∴．
联立①②③，解得，c=2．∴双曲线方程为x2-y2=2．--------（4分）
注：对点M用第二定义，得，可简化计算．
（Ⅱ）F（-2，0），设A（x1，y2），B（x2，y2），m：y=k（x+2），则
由，得x2=λ（x1+2）-2，y2=λy1．--------------------（6分）
由，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．
∴，．△=16k2-8k2（1-k2）=8k2（1+k2）．
由y2=λy1，，，---------------------（8分）
消去y1，y2，
得．------------------------（9分）
∵λ≥6，函数在（1，+∞）上单调递增，
∴，∴．------------------------（10分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程（1-k2）y2-4ky+2k2=0两根同号，
∴k2＜1．------------------------------------------------（11分）
∴，故．------------------------（12分）