Question

正项数列满足：a=0，a₁=1，点在圆上，（n∈N^*）
（1）求证：；
（2）若（n∈N），求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）求和：b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n．

Answer

（Ⅰ）由题意：，从而可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：（n≥1）可证
（Ⅲ）令，利用错位相减可求
【解析】
（Ⅰ）由题意：∴…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：（n≥1）
数列{bn}满足：b=a1-3a=1，故…（6分）
（Ⅲ）令…（8分）
相减得：=…（10分）
∴…（12分）