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已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0) (1)若f(x)在x=0处...

已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0)
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)证明:manfen5.com 满分网为自然对数的底数)
(1)求出f′(x),因为f(x)在x=0时取得极值,所以f'(0)=0,代入求出a即可; (2)分三种情况:a=0;a≤-1;-1<a<0,令f′(x)>0得到函数的递增区间;令f′(x)<0得到函数的递减区间即可;(3)由(2)知当a=-1时函数为减函数,所以得到ln(1+x2)<x,利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可. 【解析】 (1)∵,∵x=0使f(x)的一个极值点,则f'(0)=0, ∴a=0,验证知a=0符合条件. (2)∵ ①若a=0时,∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减; ②若得,当a≤-1时,f'(x)≤0对x∈R恒成立, ∴f(x)在R上单调递减. ③若-1<a<0时,由f'(x)>0得ax2+2x+a>0 ∴ 再令f'(x)<0,可得 ∴上单调递增, 在 综上所述,若a≤-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减; 若-1<a<0时,上单调递增上单调递减; 若a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减. (3)由(2)知,当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)单调递减 当x∈(0,+∞)时,由f(x)<f(0)=0 ∴ln(1+x2)<x,∴ln[(1+)(1+)…(1+)]=ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+) <++…+==(1-)<,∴(1+)(1+)…(1+)<=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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