Question

如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且。求证：

（Ⅰ）D、E、C、F四点共圆；        （Ⅱ）

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依据已知条件寻求出∠DGC、∠F、∠CAB＋∠DBA的关系，借助对角互补证明D，E，C，F四点共圆；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结果进一步得到点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心，所以∠GCE＝∠GEC，延长GE，继而证明∠AEH＋∠CAB＝90°即可.

试题解析：（Ⅰ）如图，连结OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，

设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，

则∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．

所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．

因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．

又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，

所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四点共圆．

（Ⅱ）延长GE交AB于H．

因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．

所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC．      

又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，

所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，

所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB．     

考点：1、四点共圆；2、圆的切线的性质.