Question

如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，底面。

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线PC与平面PDE所成角的正弦值为，求六棱锥高的大小。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由线线垂直得到线面垂直CD⊥平面PAC，进而求证出面面垂直；（Ⅱ）设AP＝h，求出平面PDE的一个法向量，再由线面成角的正弦值得到关于h的方程，解出即可.

试题解析：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，CD⊥AC．

因为PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA．

又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．

因为CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）如图，分别以AC，AF，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

设AP＝h（h＞0）．

则P(0，0，h)，C(，0，0)，D(，1，0)，E(，，0)．

＝(，0，－h)，＝(，1，－h)，＝(－，，0)．

设面PDE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，

所以取n＝(h，h，2)．

记直线PC与平面PDE所成的角为θ，则

sinθ＝|cosá，nñ|＝＝，

由＝，解得h＝．

所以六棱锥P-ABCDEF高为．

考点：1、面面垂直的求证；2、向量法求线面成角.