Question

在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l于Q点，且•

(I )求动点P的轨迹E的方程；

(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y₀>4时，试用y₀表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.

Answer

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值为32．

【解析】（Ⅰ）设出点的坐标，根据条件列式化简即可；（Ⅱ）先求出切线方程，然后利用弦长公式求出三角形的底边，然后利用点到直线的距离求出高，进一步求出面积的最值

（Ⅰ）设，则，∵，

∴． …………………2分

即，即，

所以动点的轨迹的方程． …………………………4分

（Ⅱ）解法一：设，不妨设．

直线的方程:，化简得 ．

又圆心到的距离为2， ，        

故，易知，上式化简得， 同理有． …………6分

所以，，…………………8分

则．

因是抛物线上的点，有，

则 ，． ………………10分

所以．

当时，上式取等号，此时．

因此的最小值为32．  ……………………12分 

解法二：设, 则，、的斜率分别为、，

则：，令得，同理得；

所以，……………6分

下面求,由到：的距离为2，得，

因为，所以，化简得，

同理得…………………8分

所以、是的两个根.

所以

，，

，……………10分

所以．

当时，上式取等号，此时．

因此的最小值为32．