Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，，D为AA₁中点，BD与AB₁交于点0，C0丄侧面ABB₁A₁

(I )证明：BC丄AB₁；

(II)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

Answer

见解析    （Ⅱ）二面角的余弦值为

【解析】试题的热点是线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，其中线面关系是重点，而垂直关系又重于平行关系，对三垂线定理的考查更突出；空间角和距离的计算出也年年必考，三种角、四种距离中线面角，二面角，点面距离是重点，求角又重于求距离

（Ⅰ）因为是矩形，

为中点，，，,

所以在直角三角形中,,

在直角三角形中,,

所以=,又，，

所以在直角三角形中，故，即， ……………3分

又因为，,所以

所以，,,     故…………………………5分

（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

在中，可求得,,，在中，可求得 ，   故,,,

所以 ,,

可得，…………………………………8分

设平面的法向量为 ，则 ，

即，取，则 ， …10分

又，故，

所以，二面角的余弦值为………12分

解法二：连接交于,连接，

因为，所以，又，所以，故所以为二面角的平面角…………………8分

，，，,

  ，在中， ，

又  ，故二面角的余弦值为 .