Question

(本小题满分13分)

已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝.

(1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn<1；

(3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－1

Answer

（1）证明略

（2）证明略

（3）证明略

【解析】

证明：(1)∵an＋1＝f(an)＝，∴＝＝＋1，即－＝1，

∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列.

∴＝2＋(n－1)，即an＝.(3分)

(2)证明：∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1.

当n≥2时，－＝(－)＋(－)＋…＋(－)≥n－1，

∴≥n＋1，∴an≤.

当n＝1时，上式也成立，∴an≤(n∈N*)，

∴bn＝≤<＝－，

∴b1＋b2＋…＋bn<(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.(8分)

(3)∵a1＝，a2＝g(a1)＝，a2－a1＝－＝>0.

又∵an＋1－an＝－＝，

由迭代关系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝.

又∵(2＋an)(2＋an－1)＝(2＋)(2＋an－1)＝5＋4an－1≥7，

∴≤，

∴

∴(13分)