Question

(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R).

(1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；

(2)当函数f(x)在[，2]上单调时，求a的取值范围.

Answer

（1）a>2

（2）a≤2或a≥

【解析】【解析】
(1)∵f′(x)＝－2x＋a－＝(x>0)，

∴f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根x1，x2.(3分)

∴a>2，

∴函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a>2.(6分)

(2)f′(x)＝－2x＋a－，令g(x)＝2x＋，

则g′(x)＝2－，g(x)在[，)上递减，在(，2]上递增.(8分)

又g()＝3，g(2)＝，g()＝2，

∴g(x)max＝，g(x)min＝2.(10分)

若f(x)在[，2]单调递增，则f′(x)≥0即a≥g(x)，∴a≥.

若f(x)在[，2]单调递减，则f′(x)≤0，即a≤g(x)，∴a≤2.

所以f(x)在[，2]上单调时，则a≤2或a≥.(13分)