Question

本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且的最小值不小于。

（1）证明：椭圆上的点到F₂的最短距离为；

（2）求椭圆的离心率e的取值范围；

（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与轴的右交点为Q，过点Q作斜率为的直线与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线被圆F₂截得的弦长S的最大值。

Answer

【解析】
（1）假设椭圆上的任一点P（x0,,y0）

则︱PF2︱2=（x0-c）2+y02由椭圆方程

易得︱PF2︱2=x02-2cx0+c2+b2,显然当 x0=a时,

︱PF2︱最小值为a-c.。。。。。。。。。。。。4分

（2）依题意知

当且仅当取得最小值时，取最小值

∴,又因为b-c>0,

得。。。。8分

（3）依题意Q点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程得

设，则，，。。。。。。。。。。。10分

又OA⊥OB，∴，

∴，即，直线的方程为

圆心到直线的距离

由图象可知

 。。。。。。。。。。。。12分

 由得∴。。。。。。。。。。14分

【解析】略