Question

如图中，，P是斜边AC上一个动点，以即为直径作交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．

   

（1）当时，

①若，求的度数；

②求证；

（2）当，时，

①是含存在点P，使得是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的CP的长；

②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在内，则CP的取值范围为________．（直接写出结果）

Answer

（1）①40°；②详见解析；（2）①7，10，12.5；②

【解析】

（1）①由BP是直径可得，根据得 并可得， ，，根据三角形的内角和定理得；②由，得到，根据，，，得到，由等角对等边得；

（2）①分三种情况：（一）当时，（二）当时，（三）当时，分别进行讨论求解即可；

②分三种情况讨论：（一）当Q点在P点上时；（二）当Q点在PC上时（三）当Q点在PH上时，分别讨论，求出CP的值即可.

24．解（1）①连结BE，∵BP是直径∴

∵，∴

∵，∴∴

∴

②∵，∴

，

又∵

∴

∴

（2）①由，，可以求得，，

∴，，

∵，

∴

当是等腰三角形时，有三种情况：（一），（二），（三）

（一）当时，

∴，

∴

∴

（二）当时，可知点D是斜边的中线，

∴，

∴

∴

（三）当时，

作，则H是BD中点，

可以求得，∴

∴，∴

②（一）当O点的对称点Q在P点上时，B，O，Q三点共线，

如图示

∴,且BP平分DE，由等腰三角形的性质可知

∴

由（1）可知CP=7；

（二）当O点的对称点Q不在P点上，而在PC上时，此情况Q点并不在上

（三）当O点的对称点Q不在P点上，而在PH上时，B，O，Q三点不共线，

如图示

∵，，且

∴四边形DOEQ是菱形，

∴

∵

∴

又∵OE，OD，OB均为外接圆的半径，

∴，

∴

∴

∴

∴由（1）可知，

∴