Question

（1）同题情境：如图1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.

∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.

∵AB∥CD.∴PE∥CD.

…………

请你帮助小明完成剩余的解答.

（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.

①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.

②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系.

Answer

(1)110°;(2) 详见解析

【解析】（1）根据平行线的判定与性质补充即可；

（2）①过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

②画出图形（分两种情况（i）点P在BA的延长线上，（ii）点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）剩余过程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，

∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．

（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：

过P作PQ∥AD ．

∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，

同理，，

∴；

②（i）当P在BA延长线时，如图4，过P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；

（ii）当P在AB延长线时，如图5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．