Question

如图，正方形纸片ABCD的边长为，对角线相交于点O，第1次将纸片折叠，使点A与点O重合，折痕与AO交于点P₁；设P₁O的中点为O₁，第2次将纸片折叠，使点A与点O₁重合，折痕与AO交于点P₂；设P₂O₁的中点为O₂，第3次将纸片折叠，使点A与点O₂重合，折痕与AO交于点P₃；…；设P_n－1O_n－2的中点为O_n－1，第n次将纸片折叠，使点A与点O_n－1重合，折痕与AO交于点P_n(n>2)，则AP_n的长为__________．

     

Answer

【解析】分析：先根据正方形的性质得到AO的长，再根据折叠的性质，依次得出AP1=×（）1-1；AP2=×（）2-1；AP3=×（）3-1；……据此可得规律APn=×（）n-1．

详【解析】
∵正方形纸片ABCD的边长为√22，对角线相交于点O，
∴AO=AC=×2=1，
由题可得：
AP1=P1O=AO==×（）1-1；
∵P1O1=O1O=P1O=，
∴AO1=AO-O1O=1-=，
∴AP2=P2O1=AO1=×=×（）2-1；
∵P2O2=O2O1=P2O1=×=，
∴AO2=AO1-O2O1=-=，
∴AP3=P3O2=AO2=×=×（）3-1；
…
由此可得，APn=×（）n-1，
故答案为：×（）n-1．