Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=　   　；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）45°；（2）BD=5．（3）最大值为OB+OD=2++．

【解析】分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；

（3）在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O，点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E，构造直角三角形，根据勾股定理求解即可．

详【解析】
（1）【解析】
（1）如图1中，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC．

∵∠DAC=2∠ABC，

∴2∠ABC+2∠ABC=180°，

∴∠ABC=45°

故答案为：45°；

（2）如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．

∵△ACD是等边三角形，

∴AD=AC，∠DAC=60°．

∵∠BAE=60°，

∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．

即∠EAC=∠BAD

∴△EAC≌△BAD．

∴EC=BD．

∵∠BAE=60°，AE=AB=3，

∴△AEB是等边三角形，

∴∠EBA=60°，EB=3，

∵∠ABC=30°，

∴∠EBC=90°．

∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，

∴EC=5．

∴BD=5．

（3）如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．

∵∠ABC=∠AOC=30°，

∴点B在⊙O上运动，

作OE⊥DA交DA的延长线于E．

在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，

∴OE=OA=1，AE= ，

在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+，

∴DO==+，

当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2++．