Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线．

（2）若tanD=，DE=16，求PD的长．

Answer

（1）见解析；（2）39.

【解析】（1）连接OB，由等腰三角形的三线合一的性质可得OP是AB的垂直平分线，从而可得PA=PB，然后通过证明△PAO≌△PBO，得到∠PBO=∠PAO，由PB为⊙O的切线，可得∠PBO=90°，从而可得∠PAO=90°，问题得证；

（2）设AP=5x，AD=12x，则PD=13x，求得BD=8x，由切割线定理得，BD2=DE•AD，代入求得x即可得.

（1）连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵AP=PB，OP=PO，OA=OB，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵tanD=，

∴设AP=5x，AD=12x，

则PD=13x，

∴BD=8x，

由切割线定理得，BD2=DE•AD，

即（8x）2=16×（12x），

∴x=3，

∴PD=39．