Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0可得x＝1，我们就说1是函数y＝x－1的零点．

已知y＝x²－2mx－2(m＋3)(m为常数)．

(1)当m＝0时，求该函数的零点；

(2)证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；

(3)设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A，B(点A在点B左侧)，点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数表达式．

Answer

（1）或-（2）y=-x-1

【解析】试题分析：（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；

（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．

试题解析：（1）当=0时，该函数为，令=0，可得，

∴当=0时，求该函数的零点为和。

（2）令=0，得△=，

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。

即无论取何值，该函数总有两个零点

（3）依题意有，

由得，即，解得。

∴函数的解析式为令=0，解得。

∵点A在点B左侧，∴A()，B(4，0)。

作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。易求得直线与轴、轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。Z.X.X.K]

连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。

∴∠BCB’=90°，即B’（）。设直线AB’的解析式为，则Z-X-X-K]

，解得∴直线AB’的解析式为，

即AM的解析式为