Question

已知关于x的二次函数y＝x²－(2m－1)x＋m²＋3m＋4.

(1)探究m取不同值时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数情况；

(2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)，且x₁²＋x₂²＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的表达式．

Answer

答案见解析

【解析】整体分析：

(1)二次函数y的图象与x轴的交点的个数即是一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4=0的根的个数；(2)由x12＋x22＝5，结合根与系数的关系，确定m的值，得到点C，M的坐标，即可求出直线CM的解析式.

【解析】
（1）根据题意得，

[－(2m－1)]2-4×1×(m2＋3m＋4)=-16m-15，

当-16m-15＞0，即m<，有两个交点；

当-16m-15=0，即m＝，有一个交点；

当-16m-15＜0，即m>，无交点.

(2)由根与系数的关系得x1＋x2=2m－1，x1x2=m2＋3m＋4.

因为x12＋x22＝(x1＋x2)2-2x1x2，

所以(2m－1)2-2(m2＋3m＋4)=5，解得m1=6，m2=-1，

因为m≤，所以m2=-1，

当m=-1时，二次函数的解析式为y=x2+3x+2,

则二次函数的解析式为y=x2+3x+2的图象与y轴的交点C（0，2），顶点M（，-）.

设一次函数的解析式为y=kx+2，则=-，解得x=，

所以y＝x＋2.

所以直线CM的表达式为y＝x＋2.