Question

（1）【特殊发现】如图1，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,连接BD,过A作AF⊥BD,交BD于E,交BC于F,若BF=1，BC=3，则AB·CD=       ；

（2）【类比探究】如图2，在线段BC上存在点E,F，连接AF,DE交于点H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD,求证：AB·CD=BF·CE；

（3）【解决问题】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM∥BC,在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H,使∠FHC=∠ABC,问：DF·BC是否为定值？若是，请求出，若不是，请说明理由.

Answer

（1）3；（2）详见解析；（3）是，DF·BC=12，理由详见解析.

【解析】试题分析：（1）先由余角的性质得到∠A=∠CBD，从而△ABF∽△BCD,再根据相似三角形的性质列比例式求解；（2）由∠ABC=∠AHD=∠ECD,得到∠AFB=∠EDC,从而△ABF∽△ECD，

再根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）法一，在DA的延长线上取一点N，使∠DNF=∠ABC,然后由△FDN∽△ABC和△NFB∽△BEC,得到和，然后整理即可得到结论；法二，取BC的中点K,连接EK,由E为AB中点，然后由△FDB∽△EKC,得到，然后结合法一整理即可得到结论；法三，延长FD,CE交于点G,由法一得：∠ADM=∠AMD,∠ABF=∠ECB,然后由△GMC∽△BDF和△GED∽△CEB,得到和，然后整理即可得到结论；

【解析】
(1) ∵AB⊥BC，AF⊥BD,

∴∠A+∠AFB=90°, ∠CBD+∠AFB=90°,

∴∠A=∠CBD，

又∵∠ABF=∠C,

∴△ABF∽△BCD,

,

∴ AB·CD=BC·BF=3.

(2)容易由∠ABC=∠AHD=∠ECD,得到∠AFB=∠EDC,

从而△ABF∽△ECD，

那么AB·CD=BF·CE；

(3)法一：（模型法）【解析】
是，DF·BC=12，

理由如下：

如图，在DA的延长线上取一点N，使∠DNF=∠ABC,

由AB=AC,DM∥BC,可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB∠FMC=∠DNF,

∴△FDN∽△ABC，且DF=NF,∴即NF·BC=ND·AB,

又由∠ABC=∠FHC,得∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠ECB,

∴∠ABF=∠ECB,∴△NFB∽△BEC,

∴ 即NF·BC=NB·BE,

∴NB·BE=ND·AB,依题意得：AD=DE=1，BE=2，

∴NB·2=ND·4，∴NB=2ND,∴ND=BD=3，

∴NB=6，∴NF·BC=6×2=12即DF·BC=12。

法二:(平行法)取BC的中点K,连接EK,由E为AB中点，

∴EK AC,得∠ADM=∠ABC=∠EKB,

∴∠BDF=∠EKC,再由法一可知：∠DBF=∠ECB，

∴△FDB∽△EKC,∴,即DF·CK=EK·DB,

由法一得：DB=3，EK=BE=2，CK=BC,

∴DF·BC=2×3，∴DF·BC=12。

法三：延长FD,CE交于点G,由法一得：∠ADM=∠AMD,∠ABF=∠ECB,

∴∠BDM=∠CMD,又∵DF∥BC,∴∠G=∠ECB,∴∠G=∠ABF,

∴△GMC∽△BDF,∴,∴DF·GM=MC·DB=3×3=9，

又∵GD∥BC,DE=1，BE=2，

∴△GED∽△CEB,∴,

同理,∴GM=GD+DM=BC+BC=BC,

∴DF·BC=9，∴DF·BC=12。