Question

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比值，被称为黄金分割数。我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数。

定义：点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点(如图1).

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】试题分析：对于（1），根据题意推出图中多组相等的角，于是有△BCD∽△ACB，利用相似三角形的性质得到对应边成比例；

通过推理可得图中多个角的度数，于是有BC=BD、BD=AD，进而得到BC=AD，利用黄金分割点的定义证得结论；

对于（2），根据黄金分割点的定义可知AD2=AC•CD，把CD换为（AC﹣AD），再将已知AC=1代入该式求出AD的长度.

【解析】
（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。

∴AD=BD，BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。

∴，即。

∴AD2=AC•CD。

∴点D是线段AC的黄金分割点。

（2）由（1）AD2=AC•CD，

即AD2=AC•（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=0。

解得AD=（舍去负值）。

∴AD=。