Question

如图，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在上， ，直线MN过点D，且∠MDC＝∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线.

Answer

详见解析.

【解析】试题分析：利用同弧所对的圆周角相等的出∠ABC＝∠BCF，再由平行线额判定与性质求出∠DCF＝90°，由等量代换求出∠MDC＋∠CDF＝90°，即可求出结论．

证明：设该圆的圆心为点O，

在⊙O中，∵ ＝，

∴ ∠AOC＝∠BOF.

又 ∠AOC＝2∠ABC，∠BOF＝2∠BCF，

∴ ∠ABC＝∠BCF.

∴ AB∥CF.

∴ ∠DCF＝∠DEB.

∵ DC⊥AB，

∴ ∠DEB＝90°．

∴ ∠DCF＝90°．

∴ DF为⊙O直径.

且 ∠CDF＋∠DFC＝90°.

∵ ∠MDC＝∠DFC，

∴ ∠MDC＋∠CDF＝90°.

即 DF⊥MN.

又∵ MN过点D，

∴ 直线MN是⊙O的切线 .