Question

已知：如图， 是内一点， ， ， ， 分别是垂足，且．

（）求证：点在的平分线上．

（）若点是射线上一点，点是射线上一点，且， ．

①当是等腰三角形时，求点到射线的距离；

②连接， ， ，当的周长最小时，求的度数．

Answer

（）证明见解析；（）①或或；② ．

【解析】试题分析：（1）证明≌，根据全等三角形的对应角相等即可得；

（2）①分或或三种情况进行讨论即可得；

②当为等边三角形时， 周长最小，则．作点关于射线的对应点，关于射线的一应点，连结 ，则线段 与的交点为．与的交点为，连结， ， ，由两点之间线段最短，可知周小.

试题解析：（1）在和中，有，

∴≌，

∴，

∴在的平分线上；

（2）①若是等腰三角形，则或或．

（Ⅰ）若，

∵，

∴，

∴．

又， ，

∴，

∴，

∴， ， 三点共线．

∴到的距离为；

（Ⅱ）若，过点作，垂足为，连结．

∵，则，

∴．

∴．

又，设，

则，

即．

在中， ，

∴．

在中， ，

∴；

（Ⅲ）若，同理可知．

综上，点到射线的距离为或或；

②当为等边三角形时， 周长最小，则．

作点关于射线的对应点，关于射线的一应点，连结 ，则线段 与的交点为．与的交点为，连结， ， ，由两点之间线段最短，可知周小．

如图所示：由轴对称性质可得，

OP1=OP2=OP，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，

所以∠P1OP2=2∠AOB=2×60°=120°，

所以∠OP1P2=∠OP2P1=（180°-120°）÷2=30°，

又因为∠FPO=∠OP1F=30°，∠GPO=∠OP2G=30°，

所以∠FPG=∠FPO+∠GPO=60°．