Question

阅读材料

如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．

解决问题

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）

Answer

（1）猜想：BF=CD．理由见解析；

（2）（1）中的结论不成立，理由见解析；

（3）=tan．

【解析】试题分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；

（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；

（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan．

试题解析：（1）猜想：BF=CD．理由如下：

如答图②所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

∴OB=OC，∠BOC=90°．

∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

∴OF=OD，∠DOF=90°．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

∵在△BOF与△COD中，

∴△BOF≌△COD（SAS），

∴BF=CD．

（2）答：（1）中的结论不成立．

如答图③所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

∴=tan30°=，∠BOC=90°．

∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

∴=tan30°=，∠DOF=90°．

∴．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF与△COD中，

∵，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴

（3）如答图④所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，

∴=tan，∠BOC=90°．

∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，

∴=tan，∠DOF=90°．

∴==tan

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF与△COD中，

∵==tan，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴=tan．