Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）图中阴影部分的面积为．

【解析】试题分析：（1）连接半径CO，证明OC⊥CD即可得出结论；（2）图中阴影部分面积用直角三角形COD的面积减去扇形COB的面积即可.

试题解析：（1）连接OC．

，∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=180º-30º-30º-30º=90°．即OC⊥CD，OC又是半径，∴CD是⊙O的切线．（2）由图可知∠1=2∠2=60º，又因为OC=2,所以在直角三角形COD中，CD=2,图中阴影部分面积用直角三角形COD的面积减去扇形COB的面积,即=2×2÷2-=2-.所以图中阴影部分的面积是2-.

考点：1.切线的判定；2.扇形与三角形面积公式.