Question

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当t=2秒时，求PQ的长；

（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）

Answer

（1）2;（2）秒;（3）5.5秒或6秒或6.6秒.

【解析】试题分析：（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；

（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；

（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=

（2）根据题意得：BQ=BP，

即2t=8﹣t，解得：t=；

即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；

（3）分三种情况：

①当CQ=BQ时，如图1所示：则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒．

③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，则BE=4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形．