Question

“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD²=AD·BD也成立．

问题1：请你证明CD²=AD·BD；

学生乙从CD²=AD·BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．

问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．

学生丙也从CD²=AD·BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．

问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S_{正方形BMNP}=S_矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．

Answer

（1）证明见解析;（2）作图见解析,CD为所要画的线段;（3）过程见解析.

【解析】试题分析：问题1：只要证明△ACD∽△CBD，可得，即可证明；

问题2：如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D．线段BD为所要画的线段；

问题3：①延长AB至E，使得BE=BC；②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M③以BM为边做正方形BMNP．正方形BMNP即为所求；

试题解析：问题1:证明：如图1中，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2=AD⋅BD.

问题2:如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D.

线段BD为所要画的线段。

问题3:①延长AB至E，使得BE=BC；

②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M

③以BM为边做正方形BMNP.

正方形BMNP即为所求。

点睛：本题考查圆综合题，相似三角形的判定和性质、直径的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.