Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx²+6mx＋n（m＞0）与 x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线BC交y轴于E，且△ABC与△AEC这两个三角形的面积之比为2∶3．

（1）求点A的坐标；

（2）将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物线的解析式．

     

Answer

（1）A(－5，0)或A(－，0);（2）y＝x ²+x+或y＝x ²+x．

【解析】试题分析：由x=的抛物线的对称轴，分两种情况对S△ABC：S△AEC进行讨论；

（2）由（1）知符合要求的点A有两种情况，分别代入即可求得抛物线的解析式.

试题解析：（1）抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0），得到对称轴x=－3，

①当S△ABC：S△AEC=2∶3时，BC：CE=2：3，

∴CB：BE=2：1

∵OF=3，∴OB=1，即B（－1，0）

∴A(－5，0)，B(－1，0)，

②当S△ABC：S△AEC=3∶2时，BC：CE=3：2，

∴CD：BD=2：1

∴A(－，0)，B(，0)；

（2）①当A(－5，0)，B(－1，0)时，

把B(－1，0)代人y＝mx2+6mx＋n得，n=5m，

m＝，n=，

∴y＝x+x+；

②当A(－，0)，B(，0)时，

把B(，0)代人y＝mx2+6mx＋n得，n=m，

m＝，n= ，

∴y＝x+x．