Question

已知，如图，在边长为10的菱形ABCD中，cos∠B=，点E为BC边上的中点，点F为边AB边上一点，连接EF，过点B作EF的对称点B’，

（1）在图（1）中，用无刻度的直尺和圆规作出点B’（不写作法，保留痕迹）；

（2）当△EFB’为等腰三角形时，求折痕EF的长度．

（3）当B’落在AD边的中垂线上时，求BF的长度．

Answer

（1）尺规作图见解析；（2）EF=5或或；（3）.

【解析】试题分析：（1）分别以F、E为圆心，FB、EB为半径画弧，两弧交于点B´，B´即为所求；

（2）分情况①当B´E=EF时，②B´E=B´F时，③EF=B´F时讨论即可；

（3）连接BB´，FE，可知BB´⊥FE，依据翻折及勾股定理即可解得.

试题解析：（1）尺规作图：

（2）由翻折知：△FBE≌△FB´E，

∴B´E=BE，B´F=BF，

∵点E为BC边上的中点，

∴B´E=BE=5，

① 当B´E=EF时，EF=5，

②当B´E=B´F时，过点F作FG⊥BE于点G，

在Rt△FBG中，BE=BF=5，cos∠B=,

∴BG=，GE=BE-BG=，

FG=，

在Rt△FEG中，FE=；

③当EF=B´F时，

过点F作FH⊥BE于点H，BH=BE=，

在Rt△FBH中， cos∠B=，

∴BF=BH×=，

∴EF=，

综上：EF=5或或.

（3）

如图：连接BB´，FE，交点 为H，

则BB´⊥FE，

∵AN=DN=BE=CE=5，

∴EM=3，B´E=BE=5，

∴B´M=4，MN=，B B´=，

B´H=，

∴B´F=BF=.