Question

【结论再现】

（）如图①，在中， ， ，则__________， __________．

【问题解决】

（）如图②，四边形是一张边长为的正方形纸片， 、分别为、的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，求的度数和的长．

【问题探究】

（）如图③，点是等腰斜边所在直线上一点，且满足，求的大小和此时的值．

Answer

（）30， ；（）， ；（）的度数为或， ．

【解析】试题分析：（1）通过求∠B 的正弦和正切即可得；

（2）根据正方形的性质，即可得∠C=∠A=90°，AD=BC=CD=AB，又由E、F分别为AB、CD的中点，即可得在Rt△A′DF中，由sin∠FA′D= = ，即可求得∠DA′F的度数，再由平角即可得的度数，再利用勾股定理通过计算即可得BG的长；

（3）分①点D 在BC边上，②点D 在BC延长线上，两种情况通过讨论即可得.

试题解析：（）； ．

（）∵折叠后得到，∴，且，

∴在中， ，sin∠FA′D= =，∴，

∴，

在中， ，∴，

又∵在中， ，那么，

∴，∴，

则，那么 ．

（）如图，①当在边上时，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，

与（）同理可证≌，

∴， ，

∵，∴，∴，∴，

∵,∴四边形． 、． 四点共圆，∴，

∴．

②当在延长线上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．

同理可证： ，

∵,∴四边形． ． 、四点共圆，∴，

∴，

综上， 的度数为或．

比值计算如下：

过点作，如图，

则在中， ， ，∴， ，

在中， ，

设， ，∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了三角形与四边形的综合性问题，包括含有30度角的直角三角形、正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质以及三角函数的性质、分类讨论等，解题的关键是数形结合思想的应用．