Question

如图,直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点,OA=2,tan∠ABO=0.5,抛物线y=﹣x²+bx+c过A、B两点．

（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；

（3）作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时，MN的长度L有最大值？最大值是多少？

Answer

（1）y=-0.5x+2（2）（3）当t=2时，MN的长度为l有最大值，最大值是4

【解析】（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，OA=2，即=，

∴0B=4，∴A（0，2），B（4，0），

把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得：b=，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2，

设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得： ，

解得：k=﹣，e=2，

所以直线AB的解析式是y=﹣x+2；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，

由（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

即D的坐标为（， ），则ED=，EO=，AE=EO﹣OA=，

S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB=×（+4）×﹣××﹣×4×2=；

（3）由题可知，M、N横坐标均为t．

∵M在直线AB：y=﹣x+2上，∴M（t，﹣t+2），

∵N在抛物线y=﹣x2+x+2上，∴M（t，﹣t2+t+2），

∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，

∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，其中0＜t＜4，

∴当t=2时，MN最大=4，

所以当t=2时，MN的长度l有最大值，最大值是4．

【点睛】（1）通过解直角三角形求出点D的坐标，再用待定系数法求解；（2）通过配方求出顶点坐标，再利用面积公式求解；（3）二次函数的图像与性质是解答本题的关键.