Question

在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点。例如，图中过点p分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点p是和谐点。

判断点M（1,2），N（4,4）是否为和谐点，并说明理由；

若和谐点P（a,3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a,b的值．

Answer

（1）∵点M不是和谐点，点N是和谐点；（2）a=6，b=9或a= -6，b= -3．

【解析】（1）根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可；
（2）当a>0时，根据(a+3)×2=3a，求出a，进一步求出b；当a<0时，根据(-a+3)×2=-3a，求出a，进一步求出b．

【解析】
（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4），
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．
（2）由题意得，①当a>0时，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
∴P（6，3），
∵点P在直线y=-x+b上，
∴代入得3=-6+b，
解得，b=9．

②当a<0时， (-a+3)×2=-3a，

∴a=-6，

点P（a，3）在直线y=-x+b上，代入得：b=-3，

∴a=6，b=9或a= -6，b= -3．