Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

（1）求证：AB=AC；

（2）若，求⊙O的半径.

Answer

（1）证明见试题解析；（2）3．

【解析】试题分析：（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC；

（2）设⊙O的半径为r，分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．

试题解析：（1）连接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP=∠APC，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，

∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，

则⊙O的半径为3．

【考点】切线的性质．