Question

（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： PA=PB+PC．

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为　  　．

Answer

（1）证明见解析；（2）OC最小值是3﹣3；（3）．

【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=OC，当BQ最小时，OC最小；

试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB，∴AP=PC+PB．

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得 QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴在Rt△OAQ中，OQ=3，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3﹣3 ，

即OC最小值是3﹣3；

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC，∵=，

∴△QAB∽OAC，∴BQ=OC，

当BQ最小时，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，∴OQ≥2，]

∴BQ的最小值为2，

∴OC的最小值为×2=，

故答案为．

【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.