Question

已知二次函数y=x²﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．

（1）求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

（2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S四边形ABCD =．

【解析】试题分析：（1）利用根的判别式符号进行证明；

（2）由抛物线解析式求得点B、C、D的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD的面积．

试题解析：（1）y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．

因为[﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．

所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有实数根．

所以，不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）由题可知：当a=4时，y=x2﹣3x+2，

因为y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，所以A（，﹣），

当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），

当x=0时，y=2，所以C（0，2），

所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=+1=．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，能利用b2-4ac的值确定抛物线与x轴交点是解（1）小题的关键.（2）小题主要是求出各关键点的坐标即可.