Question

如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．

（1）求证：△AFD≌△CEB；

（2）若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ABCD为矩形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF，再根据内错角相等，两直线平行证明AD∥BC，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．

试题解析：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD=∠CEB=90°．

∵AE=FC，∴AE+EF=FC+EF，∴AF=CE，

又∵BE=DF，∴△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD为矩形．

∵△AFD≌△CEB，∴AD=BC，∠BCE=∠DAF．∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠CBE=∠BAC，又∵∠CBE+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质．能根据图形熟练地应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.